چند نامساوی هندسی

چند نامساوی هندسی

انگیزه‌ی نوشتن این مقاله، اهمیّتی است كه نامساوی‌ها در تمام شاخه‌های ریاضیات دارند تا جایی كه گاهی از تساوی‌ها نیز مهم‌ترند. چون احكام نامساوی‌های هندسی را به آسانی می‌توان فهمید از این رو جذابیّت خاصّی دارند در عین حال مقدّمه‌ای بسیار خوب برای آشنایی با ریاضیات جدید و اندیشه‌ی خلّاق ریاضی هستند. در این جا شما را با چند نامساوی مهم هندسی و روش به دست آوردن آن‌ها آشنا می‌كنیم.

1- نامساوی میانگین‌های حسابی- هندسی:
تعریف: برای اعداد حقیقی  ؛ میانگین حسابی را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:

تعریف: برای اعداد حقیقی نامنفی  ؛ میانگین هندسی را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:

حكم: برای اعداد حقیقی نامنفی  ؛ میانگین هندسی از میانگین حسابی؛ نابیش‌تر است یعنی: .

پیش از پرداختن به اثبات این حكم، ابتدا لم زیر را می آوریم :
لم: اگر x عدد حقیقی نامنفی دلخواهی باشد آن‌گاه: .
این لم به كمك قضیه ی مقدار میانگین اثبات می شود و در كتب استاندارد حساب دیفرانسیل و انتگرال آمده است .

اثبات حكم: برای  ، با جایگذاری  در نامساوی لم خواهیم داشت:.و لذا:

2- نامساوی اردوش- موردل:
حكم:اگر P نقطه‌ی دلخواهی درون مثلث  به ترتیب، فاصله‌ی P از اضلاع c,b,a باشند آن‌گاه:.
و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع  بوده و P مركز ثقل آن باشد.
اثبات:

از طرفی چون چهارضلعی CDPE محاطی است پس طبق قضیه‌ی بطلمیوس داریم:

با استفاده از (**) داریم :

اكنون با استفاده از رابطه‌های (*) و (***) خواهیم داشت:. 
به روش مشابه می‌توان نشان داد كه:. 
بنابراین:

لم: برای 0<x ،  و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد كه 1=x.
اثبات لم به عنوان تمرین به خواننده واگذار می‌شود.
پس با استفاده از لم و رابطه‌ی (1) خواهیم داشت:.

و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد كه مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع بوده و P مركز ثقل آن باشد.

نكته:نامساوی اردوش-موردل در حالتی كه P روی مرز مثلّث ABC باشد نیز برقرار است.

3- نامساوی اویلر:
حكم: اگر R شعاع دایره محیطی و r شعاع دایره محاطی مثلّث ABC باشند، آن‌گاه: .
لم: اگر d فاصله‌ی مركز دایره‌ی محیطی و مركز دایره‌ی محاطی مثلّث ABC باشد آن‌گاه:.

برای دیدن اثباتی از این لم می‌توانید به كتاب " بازآموزی و بازشناخت هندسه" ترجمه‌ی عبدالحسین مصحفی مراجعه نمائید.
به وضوح، حكم با توجه به لم فوق نتیجه می‌شود.

4- نامساوی Hadwiger-Finsler:
حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

پیش از پرداختن به اثبات حكم، مفهوم تابع محدّب را معرّفی می‌كنیم:
تعریف: تابع  را محدّب گوئیم (I یك بازه است) هرگاه به ازای هر x,y در I و هر  داشته باشیم:  .

لم: اگر f تابعی محدّب و  نقاط دلخواهی در دامنه‌ی f و اعداد دلخواه ,()طوری باشند كه  آن‌گاه: 

اثبات لم با استقراء بر n .(جزئیات به عهده‌ی خواننده).
اثبات حكم:  كه در آن  زاویه‌ی بین ضلع‌های b,cاست. چون  پس :

به روش مشابه می‌توان نشان داد كه و كه در آن  به ترتیب زوایای بین ضلع‌های "a,b" , "a,c "هستند. بنابراین:

چون  و  در  محدّب است. [چرا؟]
پس طبق لم اخیر خواهیم داشت:

با استفاده از (*) و (**) خواهیم داشت:

و به این ترتیب حكم ثابت می‌شود.

5- نامساوی Weizenbock:
حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

اثبات: كافی است در نامساوی 4 از این واقعیت كه: است، استفاده كنیم.