مبحث توان وقوانین آن

مبحث توان وقوانین آن

هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم، می گوییم آن عدد را به توان رسانده ایم. که عددر را پایه و تعداد عدد ها را n  که توان می نامیم. نام دیگر توان، نما می باشد.   3 5 =5  ×5×5 در اینجا عدد 5 پایه وعدد3 توان  یا نما نام دارد. تعریف: به عددهایی مانند ab یك عدد تواندار می گوییم. a  را پایه عدد و b را توان یا نمای آن نامیده و می خوانیم «a  به توان b»         8² = 8 × 8 = 64   به مثالها توجه کنید:
     5³ = 5 × 5 × 5 = 125
2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16             9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9=9⁶

a⁷ = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa 
 x⁶ = xxxxxx

به مثال توجه کن      8    =³ 2=2×2×2   عدد2     چند بار درخودش ضرب شده؟3بار 

         5⁴  ببینیم  عدد5 چند بار درخودش ضرب می شود؟4بار     5⁴   = 5×5×5×5

x²x³ = (xx)(xxx) = xxxxx = x⁵           = x²   ×   x³ =  x⁽²⁺³⁾=    x⁵

هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم  برای آسان شدن تعداد هرچند بار دربالای عدد تعداد آن را می نویسیم .پس ما تعداد چند بار را جمع می کنیم  مثلا دراینجا عدد6  چندبار ضرب شده 

6×6×6×6×6×6 ×6  دراین صورت  7بارضرب شده  ⁷  6

مثال2 :        ⁵ 6   =  ^{2  +  3}  6  =   ² 6 ×   ³ 6    =6×6× ³ 6   دراین جا عدد6 را ببین 5بار ضرب شده دوبار  جدا و(³ 6 =6×6×6)  درتمرین بالا اگر در مورد ² 6 ×   ³ 6     اگر توان ها را ضرب کنید با تعداد ضرب جور در نمی آیدومی شود ⁶ 6   که غلط است  باید 5بار شود 

جمع و تفریق توان ها: در جمع و تفریق دو یا چند عدد توان دار، ابتدا هر کدام از اعداد را جداگانه به توان می رسانیم. سپس با هم جمع یا تفریق می کنیم.   
   20=32-27+25=2⁵-3³ + 5²
نكته: اگر عددی توان نداشته باشد توان آن را عدد 1 در نظر می گیریم. ¹ 3=3
نكته:  هر عدد به توان 1 برابر است با همان عدد
نكته: عدد 1 به هر توانی برسد حاصل 1 می شود. 1   =  ¹⁵  1        و    9¹ = 9
نكته: توان دوم هر عدد را مجذور (مربع)آن عدد می گویند (در واقع مساحت مربعی را حساب می كنیم كه طول ضلع آن را دارد.  مجذور4= ² 4     
نكته:  توان سوم هر عدد را مكعب آن عدد می گویند (می توان گفت: مكعب یك عدد، حجم مكعب مربعی است  كه این عدد اندازه ی هر ضلع آن مكعب است)     مکعب 5= ³ 5
نكته: اگر پایه ی یك عدد توان دار ، عددی منفی، كسری یا اعشاری باشد پایه ی آن عدد را در داخل پرانتز می نویسیم
مانند: ³(2-) یا ⁴(    1)یک دوم به نوان4
                         2
نكته: هر عدد غیر صفر به توان  0 برسد حاصل 1 می شود .      0≠ a⁰ =1             a
 اما 00     را می گویند (نا معین) زیرا هم یک می توان گفت وهم صفر
۱)در ضرب اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را جمع می کنیم  b ^a  ×  a^c=  (b+c)  ^a
۲^۱۲  =  ۲^۵ × ۲^۷ 
 ( y⁵ =  y² y³ = yyyyy  =(y²)(y³   یا     : y² y³ = y²⁺³ = y5

x²x³ = (xx)(xxx) = xxxxx = x⁵           = x²   ×   x³ =  x⁽²⁺³⁾=    x⁵

xy)³ = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x³y³)
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را ضرب می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم. در ضرب اعداد توان دار با توان مشابه توانها را می نویسیم و پایه ها را ضرب می کنیم
۲^۶ × ۵^۶ = ۱۰^۶
ج) اگر پایه ها نامساوی و نماها نیز نا مساوی باشند ابتدا هر یک از آن ها را به توان می رسانیم سپس در هم ضرب می کنیم.
27×25=۲³ × ۵²
مثال: حاصل ضرب مقابل را به صورت توان دار بنویسید.         = 5³ × 5³
25³= ³ (5 × 5 ) = 5³ × 5³
توجه: هر یك از دو راه را كه انتخاب كنیم درست است     = 5³ × 5³
اف)     5×5×5×5×5×5= 5⁶
ب)     25×25×25= 25³                         25³=5⁶
توجه: در بعضی موارد كه پایه ها و توان ها هیچ كدام مساوی نیستند می توانیم با یك تغییراتی در اعداد ، پایه ها و یا توان های آنها را برابر كنیم.
 (الف)   9⁶= ² 9 ×9⁴=81× 9⁴
 (ج) 9⁵= 9³×9²= 9³× 3⁴   
۲)در تقسیم اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم می کنیم.
۲^۳ =۲^۶    ÷  ۲^۹ 
  x⁴/x² = (xxxx) ÷ (xx) = xx = x²    = x⁴÷x² = x^(4-2) = x²    (علامت /  خط کسری است)
     x²÷x² = x^2-2 = x⁰ =1
اگر توجه کنیدx⁰=1
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم.
۳^۷     =   ۲^۷  ÷  ۶^۷
اگر در تقسیم دوعدد ، توا ن پشت ( ) باشد ،توان برای هر دو حساب می شود. علامت / خط کسری است. y/y = 1
به انواع مثالها توجه کنید:
x/y)³ = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x³/y³)
(x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ )                   
 
     
     3  )توان در توان :
اگر عددی توان دار را مجددا به توان برسانیم توان ها را در هم ضرب می کنیم.
                         ⁵  (   ۲^۳     )  =۲^۱۵
x³)⁴ = (xxx)⁴ = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x¹²`)     
(x³)⁴ = x^3×4 = x¹² )            

۴)توان- توان :
درعبارت هایی که به شکل a ^(m)n هستند ابتدا باید m را به توان n برسانیم و پاسخ را توان a در نطر بگیریم.
                                        3
ابتداتوان را به توان برسانید.      ⁵ 2=۲^۱۲۵           

 
5- قانون توان صفر:
هر عدد (به جز صفر) به توان صفر برابر است با یک.   ⁰  ۳=    ۱       و   1=⁰  5
      9⁰ = 1 به مثال زیر توجه کنید:
x²÷x² = x^2-2 = x⁰ =1
به مثالها توجه کنید وآنها را بررسی کنید.تا.....

3⁵ = 3 ÷⁶ 3 = 3¹ ÷ 3⁶ =^{1- 6} 3 = 3⁵= 243
3⁴ = 3 ÷⁵ 3 = 3¹ ÷ 3⁵ =^1- 3⁵ = 3⁴= 81
3³ = 3¹ ÷⁴ 3 = 3¹ ÷ 3⁴ =   ^{1 - 4} 3  = 3³= 27
3² = 3 ÷³ 3 = 3¹ ÷ 3³ =^{1-- 3} 3  = 3²= 9
3¹ = 3 ÷² 3 = 3¹ ÷ 3² =^{1-  2} 3    = 3¹= 3
 به طور منطقی اثبات می کنیم.  1=3⁰ =    ^1-1 3 = 3¹ ÷ 3¹  = 3⁰ .
اگر دوعدد مساوی با توان مساوی برهم تقسیم شوند را  داشته باشیم باز مساوی یک می شود:
m⁰ = m^{(n – n)} = mⁿ × m^–n = mⁿ ÷ mⁿ = 1
نتیجه   :1-هرعدد به توان صفر=1    پس: 0⁰ = 1
  2-صفر به توان صفر =صفر پس 00 = 0 البته ریاضی دانان می گویند "00" نامعین وتعریف نشده است.       
 

	x0 = 1, پش ...	00 = 1
	0n = 0, پس ...	00 = 0

       
تمام اعداد منفی وقتی به توان فرد می رسند، همان منفی باقی می مانند.      
مثال :     6⁴- =   ³  (4-)  یا        8 - = ³  (2 - )

تمام اعداد منفی وقتی به توان زوج می رسند مثبت می شوند :    9 = ² (3-)
²(-2) = (2-) × (2-) = 4
     25 +  =(5-) × (-5)  =²( 5-)      
      
تمام اعداد مثبت وقتی به توان فرد یا زوج می رسند، مثبت باقی می مانند.
       +25 =  ( 5 +) × (5+) =  2( 5+)         و125 += (5+  ) ×(+5)  ×   (+5) =  ³( 5+)

¹(-1)1 = 1  -      عدد منفی توان فرد
²(-1) = (    1-) × (1- ) +1     عدد منفی توان زوج
³(-1) = (1-) × (1-) × (1-) =1-  عدد منفی توان فرد
⁴(-1) = (1-) × (1-) × (1-) × (1-) = 1 +  عدد منفی توان زوج
مثال:   ⁹⁷ (-1)  =    1-

 ⁶(-2)= 64 + عدد منفی به توان زوج برسد پاسخ مثبت می شود                   
قرینه ی عدد a یعنی a -. برای به دست آوردن قرینه ی هر عدد، آن عدد را در (1-) ضرب می کنیم.
 

 موارد توان را با   (  )  بررسی می کنیم:
²(2 -) = (2-) × (2-) = 4
2² -= (2²)- =  (2 × 2) -= -4
ab)2 = ab × ab)
 ab² = a × (b)² = a × b × b     به چه نتیجه ای رسیدید؟
 

4^3/2  یعنی 4به توان سه چهارم
m/n = m × (1/n)    (  /    یعنی خط کسری)




m/n = (1/n) × m: