ریاضیات یونان باستان

ریاضیات یونان باستان

 

با شروع هزاره اول میلادی و با افول تمدن بزرگ مصر و بابل، کم کم تمدنهای جدیدی مانند تمدن
یونانی، فنیقی و آسوری پا به عرصه وجود گذاشتند. با تکامل ذهنی بشر، انسان با کلمه «چرا»
مانوس تر شد.
- چرا زوایای متقابل به راس با هم برابرند؟
- چرا در مثلث متساوی الساقین دو زاویه روبه رو به دو ساق برابرند؟
- ...؟
به این ترتیب، ریاضیات برهانی متولد شد و یونانیان در این امر پیشتاز بوده اند. در این قسمت به طور بسیار خلاصه، به نام و کارهای ریاضیدانان یونانی به ترتیب زمانی خواهیم پرداخت.

1. تالس یکی از ریاضیدانانی است که برای اولین بار به وسیله استدلال منطقی و بدون  استفاده
   از شهود، چند قضیه مهم هندسه را ثابت کرد. (مراجعه کنید به صفحه 60 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد و. ایوز ترجمه ی دکتر محمد قاسم وحیدی اصل - فصل ریاضیات فیثاغورسی)
   
2. فیثاغورث (یا به عبارت درست تر فیثاغورسیان که پیروان و شاگردان او بودند) نیز سهم
   بسزایی در تکامل ریاضیات برهانی داشت. خلاصه ای از کارهای فیثاغورسیان را مرور
   می کنیم:
   
   (الف) این گروه اولین قدمها را در رشد نظریه اعداد برداشتند، مانند معرفی اعداد متحابه، تام، ناقص و زاید (مراجعه کنید به صفحه ۷۰ و ۷۱  جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز ) و نیز معرفی اعداد مصور مثلثی، مربعی، مخمسی (مراجعه کنید به صفحه ۷۲ تا ۷۴ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
   
   (ب) اولین برهان منطقی و درست از قضیه فیثاغورس که بابلیان قدیم بدون برهان از آن استفاده می کردند.
   
   (ج) کشف عدد گنگ که یکی از حوادث مهم تاریخ ریاضیات است.
   
   (د) ابداع جبر هندسی برای بیان اتحادهای جبری در قالب اصطلاحات هندسی. برای توضیح بیشتر، اتحاد  را به این وسیله با شکل زیر «ثابت» می کنیم:
   
   
   
   (ه) حل هندسی معادلات درجه دوم. برای مثال با فرض اینکه a و b دو عدد مثبت باشند،
   طول x را چنان به دست می آوریم که x جواب معادله ی   باشد. این کار را در
   شکل زیر انجام داده ایم. (با این کار می توان برای هر عدد طبیعی n، را رسم کرد.
   کافی است دایره ای به قطر n+1 رسم کنیم.)
   
    
   

   
   (و) معرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند وجهی
   را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعی های منتظم مساوی باشند و کنجهای آن نیز همگی
   برابر.)
   
   (ز) بسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاجهای دقیق از
   چند فرض آغازین که کاملاْ مشخص هستند.
   
3. افلاطون و شاگردان او: تقریباْ تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم قبل از میلاد به وسیله شاگردان افلاطون انجام شده است و آنها حلقه ارتباط بین فیثاغورسیان و ریاضیدانان مکتب اسکندریه بودند. نظر افلاطون درباره ریاضییات این بود که این علم عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می سازد و اداره کنندگان جامعه باید ریاضی بدانند. معروف است که افلاطون بر سر در آکادمی خود نوشته بود: «هر کس هندسه نمی داند وارد نشود.»
   
   کارهایی که معاصران افلاطون انجام دادند:
   
   (الف) کشف مقاطع مخروطی (مقاطع مخروطی معمولا شامل دایره، سهمی، هذلولوی و بیضی میشود.)
   
   (ب) تضعیف مکعب (چگونگی ترسیم ضلعی از یک مکعب -فقط با خط کش و پرگار- که حجم آن مکعب دو برابر حجم مکعبی مفروض است.)
   
   (ج) تثلیث زاویه (چگونگی تقسیم یک زاویه دلخواه به سه قسمت مساوی-فقط با خط کش و پرگار)
   
   (د) تربیع دایره (چگونگی ساختن مربعی که دارای مساحتی برابر با مساحت دایره مفروضی باشد -فقط با خط کش و پرگار)
   
   توضیح: توجه کنید که می توان ثابت کرد هیچکدام از کارهای بالا -یعنی تضعیف مکعب، تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی توان فقط به وسیله خط کش و پرگار انجام داد که داستان مفصل و جالبی برای خود دارد. همچنین توجه کنید که تربیع دایره پیوند نزدیکی با محاسبه عدد پی دارد (در صفحه  ۱۱۶ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز،می توانید تاریخچه زیبایی از عدد پی را مشاهده فرمایید که شامل ۳۸ مدخل است از کارهای یونانیان، مسلمین، اروپائیان و ریاضیدانان عصر جدید درباره این عدد.)
   
4. اقلیدس: او استاد ریاضیات دانشگاه اسکندریه بود و احتمالاْ در آتن یونان درس خوانده است. اقلیدس در دوران خود، به فروتنی و توجهش به دیگران معروف بود. بد نیست بدانیم که اسکندریه در آن زمان در حدود پانصد هزار نفر جمعیت داشت و دانشگاه آن بسیار بزرگ و مجهز به سالنهای سخنرانی، آزمایشگاه، خوابگاه و کتابخانه بود و در این کتابخانه حدوداْ ششصد هزار طومار پاپیروس وجود داشت و حدود هزار سال پابرجا ماند.
   
   - اقلیدس حدود ۱۰ کتاب تالیف کرده است که مهمترین اثر او کتاب اصول اوست که شاید یکی از
   مهم ترین کتاب های تمام تاریخ بشر باشد. لازم است بدانیم که این اثر به وسیله مسلمین به
   دست اروپائیان رسید و اروپائیان اصول اقلیدس را از عربی به لاتین ترجمه کردند.
   این کتاب شامل ۱۳ مقاله و حاوی ۴۶۵ قضیه درباره هندسه مسطحه، هندسه فضایی، نظریه
   اعداد و جبر مقدماتی هندسی است.
   - قضایای معروف این کتاب: آلگوریتم اقلیدسی (برای تشخیص متباین بودن دو عدد)، قضیه اصلی
   حساب و اثبات این که تعداد اعداد اول بی نهایت است.
   - احتمالاْ این کتاب تدوینی منظم و زیبا از آثار ریاضیدانان قبل از اقلیدس به همراه کارهای خود
   اقلیدس است و شاید قصد او از تالیف این کتاب این بوده است که یک کتاب درسی مقدماتی
   در ریاضی عمومی بنویسد. البته اقلیدس در ریاضیات عالی نیز کتابهای درسی تالیف کرده
   است.
   - به نظر می رسد که مهمترین کار او در این کتاب آن باشد که سعی کرده است تمام ۴۶۵ قضیه را  فقط بر اساس ۱۰ اصل موضوع اثبات کند.(مراجعه کنید به صفحه ۱۵۰ جلد اول کتاب تاریخ
   ریاضیات هاوارد د. ایوز) 
   
5. ارشمیدس: اروپائیان معمولاْ «ارشمیدس»، «نیوتن» و «گاوس»  را بزرگترین ریاضیدانان همه اعصار می دانند. اگر این مطلب درست هم نباشد، ظاهراْ می توان گفت ارشمیدس بزرگترین ریاضیدان عهد باستان بود.
   
   - حدوداْ در سال ۲۸۷ قبل از میلاد متولد شد و به احتمال قوی مقداری از عمر خود را در دانشگاه
   اسکندریه گذراند.
   
   - درباره زندگانی ارشمیدس مطالب جالبی نقل شده است: دفاع از سیراکوز (شهر ارشمیدس)
   در مقابل سپاه روم و شکست رومیان فقط به وسیله اهرمها و جرثقیلها و نیز تمرکز ذهنی بسیار قوی بطوریکه هنگام حل مساله از اطراف خود کاملا بی خبر می شد- و همین بی خبری بالاخره باعث مرگ او شد.
   
   - ارشمیدس سه کتاب درباره هندسه مسطحه، دو کتاب درباره هندسه سه بعدی، دو مقاله
   درباره نظریه اعداد، دو رساله (نامه)  درباره ریاضیات کاربردی (در واقع فیزیک ریاضی) و یک
   رساله (نامه) تحت عنوان «روش» دارد که روش او را در کشف بسیاری از قضایا شرح می دهد.
   این رساله در سال ۱۹۰۶ میلادی کشف شد.
   
   - مقاله های ارشمیدس شاهکارهایی از بیان ریاضی هستند و تا حد قابل توجهی به مقاله های
   امروزی شباهت دارند.
   
   - او در بسط اولیه مفاهیم انتگرال برای محاسبه مساحتها و حجمها نقش اساسی دارد.
   او روش کلاسیک برای محاسبه «عدد پی» را کشف کرد. در این روش با ترسیم چند ضلعیهای
   محاطی و محیطی برای دایره واحد، به تقریب جالبی برای «عدد پی» می رسیم.
   
   - ارشمیدس - به ادعای ابوریحان بیرونی - کاشف فرمول مشهور «هرون» برای مساحت مثلث
   برحسب سه ضلع آن است.
   
   - او در رساله ای درباره مقدار تقریبی دانه های شنی که کره ای به مرکز زمین و به شعاع
   زمین تا خورشید را پر نماید، صحبت کرده است.
   
   - در رساله دیگری سعی می کند که یک معادله هشت مجهولی با مقادیر صحیح را که به
   وسیله هفت معادله خطی به هم مربوط شده اند، حل کند و یکی از جوابهای این معادله عددی است با بیش از «۲۰۶۵۰۰» رقم!!
   
6. آپولونیوس: هندسه دان کبیر باستان و واضع رسمی مقاطع مخروطی که نامهای یونانی
   بیضی، سهمی و هذلولوی به وسیله او به این شکلهای هندسی داده شده است.
   
7. دیوفانتوس: این ریاضیدان، دارای نبوغ عجیبی در نظریه جبری اعداد بود و مسائل ارائه شده توسط او در بسط جبر و نظریه اعداد اهمیت بسیاری دارند.
   
8. پاپوس: شارح بزرگ آثار هندسه دانان یونانی که ما قسمت عمده دانش خود را از هندسه