تبلیغات

تبلیغات

    Rozblog.com رز بلاگ - متفاوت ترين سرويس سایت ساز

ورود کاربران

عضويت سريع

    نام کاربری :
    رمز عبور :
    تکرار رمز :
    ایمیل :
    نام اصلی :
    کد امنیتی : * کد امنیتیبارگزاری مجدد

نظرسنجي

    مطلب مورد علاقه خود را بنویسید ؟




آمار

    آمار مطالب آمار مطالب
    کل مطالب کل مطالب : 1475
    کل نظرات کل نظرات : 263
    آمار کاربران آمار کاربران
    افراد آنلاین افراد آنلاین : 2
    تعداد اعضا تعداد اعضا : 493

    آمار بازدیدآمار بازدید
    بازدید امروز بازدید امروز : 294
    بازدید دیروز بازدید دیروز : 483
    ورودی امروز گوگل ورودی امروز گوگل : 14
    ورودی گوگل دیروز ورودی گوگل دیروز : 37
    آي پي امروز آي پي امروز : 38
    آي پي ديروز آي پي ديروز : 65
    بازدید هفته بازدید هفته : 1,745
    بازدید ماه بازدید ماه : 1,558
    بازدید سال بازدید سال : 44,952
    بازدید کلی بازدید کلی : 3,038,424

    اطلاعات شما اطلاعات شما
    آی پی آی پی : 3.219.31.204
    مرورگر مرورگر :
    سیستم عامل سیستم عامل :
    تاریخ امروز امروز : جمعه 14 آذر 1399

آخرين ارسال هاي تالار گفتمان

چند نامساوی هندسی

چند نامساوی هندسی

انگیزه‌ی نوشتن این مقاله، اهمیّتی است كه نامساوی‌ها در تمام شاخه‌های ریاضیات دارند تا جایی كه گاهی از تساوی‌ها نیز مهم‌ترند. چون احكام نامساوی‌های هندسی را به آسانی می‌توان فهمید از این رو جذابیّت خاصّی دارند در عین حال مقدّمه‌ای بسیار خوب برای آشنایی با ریاضیات جدید و اندیشه‌ی خلّاق ریاضی هستند. در این جا شما را با چند نامساوی مهم هندسی و روش به دست آوردن آن‌ها آشنا می‌كنیم.


1- نامساوی میانگین‌های حسابی- هندسی:
تعریف: برای اعداد حقیقی  ؛ میانگین حسابی را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:

 

تعریف: برای اعداد حقیقی نامنفی  ؛ میانگین هندسی را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:

 

حكم: برای اعداد حقیقی نامنفی  ؛ میانگین هندسی از میانگین حسابی؛ نابیش‌تر است یعنی: .

 


پیش از پرداختن به اثبات این حكم، ابتدا لم زیر را می آوریم :
لم: اگر x عدد حقیقی نامنفی دلخواهی باشد آن‌گاه: .
این لم به كمك قضیه ی مقدار میانگین اثبات می شود و در كتب استاندارد حساب دیفرانسیل و انتگرال آمده است .

اثبات حكم: برای  ، با جایگذاری  در نامساوی لم خواهیم داشت:.و لذا:

 


2- نامساوی اردوش- موردل:
حكم:اگر P نقطه‌ی دلخواهی درون مثلث  به ترتیب، فاصله‌ی P از اضلاع c,b,a باشند آن‌گاه:.
و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع  بوده و P مركز ثقل آن باشد.
اثبات:

 

 


از طرفی چون چهارضلعی CDPE محاطی است پس طبق قضیه‌ی بطلمیوس داریم:

با استفاده از (**) داریم :

 


اكنون با استفاده از رابطه‌های (*) و (***) خواهیم داشت:
به روش مشابه می‌توان نشان داد كه:
بنابراین:

 


لم: برای 0<x ،  و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد كه 1=x.
اثبات لم به عنوان تمرین به خواننده واگذار می‌شود.
پس با استفاده از لم و رابطه‌ی (1) خواهیم داشت:.

و تساوی وقتی و فقط وقتی رخ می‌دهد كه مثلّث ABC متساوی‌الاضلاع بوده و P مركز ثقل آن باشد.

نكته:نامساوی اردوش-موردل در حالتی كه P روی مرز مثلّث ABC باشد نیز برقرار است.


3- نامساوی اویلر:
حكم: اگر R شعاع دایره محیطی و r شعاع دایره محاطی مثلّث ABC باشند، آن‌گاه: .
لم: اگر d فاصله‌ی مركز دایره‌ی محیطی و مركز دایره‌ی محاطی مثلّث ABC باشد آن‌گاه:.

برای دیدن اثباتی از این لم می‌توانید به كتاب " بازآموزی و بازشناخت هندسه" ترجمه‌ی عبدالحسین مصحفی مراجعه نمائید.
به وضوح، حكم با توجه به لم فوق نتیجه می‌شود.


4- نامساوی Hadwiger-Finsler:
حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

پیش از پرداختن به اثبات حكم، مفهوم تابع محدّب را معرّفی می‌كنیم:
تعریف: تابع  را محدّب گوئیم (I یك بازه است) هرگاه به ازای هر x,y در I و هر  داشته باشیم:  .

لم: اگر f تابعی محدّب و  نقاط دلخواهی در دامنه‌ی f و اعداد دلخواه ,()طوری باشند كه  آن‌گاه: 

 

اثبات لم با استقراء بر n .(جزئیات به عهده‌ی خواننده).
اثبات حكم:  كه در آن  زاویه‌ی بین ضلع‌های b,cاست. چون  پس :


به روش مشابه می‌توان نشان داد كه و كه در آن  به ترتیب زوایای بین ضلع‌های "a,b" , "a,c "هستند. بنابراین:

 

چون  و  در  محدّب است. [چرا؟]
پس طبق لم اخیر خواهیم داشت:

 


با استفاده از (*) و (**) خواهیم داشت:

 


و به این ترتیب حكم ثابت می‌شود.


5- نامساوی Weizenbock:
حكم: اگر a,b,c اضلاع مثلّث ABC و A مساحت آن باشند، آن‌گاه:

اثبات: كافی است در نامساوی 4 از این واقعیت كه: است، استفاده كنیم.

 

 

 


تاریخ ارسال پست: یکشنبه 25 اسفند 1392 ساعت: 17:31

مطالب مرتبط

بخش نظرات این مطلب

این نظر توسط فارسه در تاریخ 1394/4/8 و 7:23 دقیقه ارسال شده است

فارسه گفته:

سلام سایت خوبی دارید لطفا ما را لینک کنید
http://farse.ir


نام
ایمیل (منتشر نمی‌شود) (لازم)
وبسایت
:) :( ;) :D ;)) :X :? :P :* =(( :O @};- :B /:) :S
نظر خصوصی
مشخصات شما ذخیره شود ؟ [حذف مشخصات] [شکلک ها]
کد امنیتیرفرش کد امنیتی